担当授業科目 - 井沼　学

代数学基礎

2015年04月 - 現在

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おもに整数論の入門的な話題に触れながら、代数学の基礎を学ぶ。具体的には、ユークリッドの互除法、整数における合同、剰余類、オイラーの定理、原始根などについて考えて理解する。
1. 代数学とは何か
2. 数学的帰納法
3．階乗、組合せの数、二項定理
4．約数・倍数
5．ユークリッドの互除法
6．最大公約数・最大公倍数
7．素因数分解
8．整数の合同
9．整数の演算と合同
10．中国剰余定理
11．法が素数の場合
12．判定法・素数表
13．素数の分布
14．フェルマー数とメルセンヌ数
15．未解決問題

符号理論

2015年04月 - 現在

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記録メディアの再生、携帯電話の通話、デジタル放送などのデータ通信では、「誤り訂正符号」という仕組みを用いて、高速かつ正確にノイズ（誤り）の訂正を行っている。そのようなICTの基盤となる符号理論とそれを支える数学について学び、理解・納得する。
1. 線形代数の振り返り
2. 線形符号とベクトル空間
3. 最小距離と最小重み
3. シンドローム復号法とハミング限界、重み分布
4. 有限体その１
5. 有限体その２
6. 最小多項式と因数分解
7. 限界距離復号
8. 最尤復号
9. 中間のまとめ
10. リード・ソロモン符号の定義
11. リード・ソロモン符号の復号その１
12. Vandermonde 行列
13. リード・ソロモン符号の復号その２
14. 前期のまとめ
15. 復習テスト
16. 巡回符号の導入
17. 巡回符号の生成行列とパリティ検査行列
18. 巡回リード・ソロモン符号とBCH符号
19. 多項式に対するユークリッド法
20. ユークリッド法によるリード・ソロモン符号とBCH符号の復号その１
21. ユークリッド法によるリード・ソロモン符号とBCH符号の復号その２
22. 中間のまとめ
23. リード・ソロモン符号のリスト復号
24. 拡張リスト復号その１
25. 拡張リスト復号その２
26. 中間まとめ
27. エルミート曲線符号
28. エルミート曲線符号の復号
29. 後期のまとめ
30. 復習テスト

暗号理論

2015年04月 - 現在

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（1）授業の概要
現代暗号は私たちの暮らしを便利にそして安全に保つことに役立っているが、本講義では、現代暗号を支える数学の基礎（主に整数論）と現代の主要な暗号技術の一例について学ぶ。
（２）授業の目的
講義形式で、フェルマーの小定理や素数判定法など整数論や代数学の基礎からしっかりと理解し、最後に現代暗号の一つであるRSA暗号の機能と安全性について学ぶ。
（３）修得できる力
①知識・理解
（４）授業の到達目標
前期は、現代暗号に応用されている数学の基礎をきちんと理解することを目的とする。後期は擬素数や素数判定法、RSA暗号の安全性について理解することを目的とする。
1. 現代暗号の概観
暗号理論における数学の概要を理解し、その準備として簡単な問題の計算ができる。
2. アルゴリズム、除算定理
除算定理を理解し、具体例を計算することができる。
3. ユークリッドアルゴリズム
ユークリッド互除法を理解し、具体例を計算することができる。
4. 拡張ユークリッドアルゴリズム
拡張ユークリッド互除法を理解し、具体例を計算することができる。
5. 整数の素因数分解
6. フェルマーの素因数分解アルゴリズム
フェルマーの素因数分解アルゴリズムを理解し、具体例を計算することができる。
7. 多項式公式
素数を与える多項式公式について考える。
8. 指数公式：メルセンヌ数
メルセンヌ数の基本的性質を理解する。
9.　指数公式：フェルマー数
フェルマー数の基本的性質を理解する。
10. 素数が無限にあること
素数が無限に存在することの証明のいくつかを理解する。
11. 合同関係・法演算・整除性規準
合同関係や法演算を理解し、整除性規準の問題を考える。
12. ディオフォントスの方程式
いくつかの具体的なディオフォントス方程式について整数解を持たないことを証明できる。
13. 数学的帰納法
ハノイの塔を題材にして数学的帰納法を理解し、いくつかの例題を帰納法で証明することができる。
14. フェルマーの定理
フェルマーの定理を理解する。
15. 根を数える
体上のk次多項式の根の個数は高々k個であることを理解する。
16. 擬素数
ライプニッツの合成数判定法を理解し、簡単な例に対して合成数であることを判定できる。ライプニッツ判定法で判定不能となる擬素数の存在について理解する。
17. カーマイケル数
カーマイケル数の定義を理解し、簡単な例に対してカーマイケル数であることを確かめることができる。
18. ミラーの判定法
ミラーの合成数判定法を理解し、簡単な例に対して合成数であることを判定できる。ミラー判定法で判定不能となる強擬素数の存在について理解する。
19. ラビンの定理・素数判定
ラビンの定理から確率的素数判定法を理解し、簡単な具体例を計算できる。
20. 線形方程式と中国式剰余アルゴリズム
中国式剰余アルゴリズムを理解し、簡単な具体例を計算できる。
21. 秘密分散
秘密分散を理解し、簡単な具体例を計算できる。
22. メルセンヌ数（再考）
メルセンヌ数の素因数を求めるフェルマーの方法を理解し、簡単な具体例を計算できる。
23. フェルマー数（再考）
フェルマー数の素因数を求めるオイラーの方法を理解し、簡単な具体例を計算できる。
24. リュカ-レーマーの判定法の準備
リュカ-レーマーの判定法に用いられる整数環とイデアルについて理解し、簡単な具体例を計算できる。
25. リュカ-レーマーの判定法
リュカ-レーマーの判定法を理解し、簡単な具体例に対して素数であることを判定できる。
26. RSA暗号の定義と正当性
RSA暗号の定義と正当性を理解し, 簡単な具体例に対して正当性を確かめることができる。
27. RSA暗号の安全性
RSA暗号の安全性を理解する。
28. 素数の選択
素数の分布について理解し, 簡単な具体例を計算できる。
29. RSA署名
RSA署名の定義を理解し, 簡単な具体例を計算できる。
30. RSA署名の安全性
RSA署名の安全性を理解する。

代数学

2015年04月 - 2018年03月

数学セミナー

2014年04月 - 現在

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「確率と乱数」（杉田洋著 数学書房）の輪講
「石取りゲームの数学」（佐藤文広著 数学書房）の輪講


数学特論Ⅱ

2014年04月 - 2015年03月

位相数学（演習含む）

2014年04月 - 2015年03月

数学特論Ⅰ

2014年04月 - 2015年03月

教職実践演習（中・高）

2013年04月 - 2021年03月

微分積分学Ⅰ

2013年04月 - 2016年03月

微分積分学Ⅰ

2013年04月 - 2014年03月

コンピュータ・リテラシーⅠ

2013年04月 - 2014年03月

コンピュータ・リテラシーⅡ

2013年04月 - 2014年03月